Теорема Геделя о неполноте:  говорит ли она о неполноте математики?

Сергей Леонидович Катречко

doi:10.47850/RL.2023.4.4.82-87

Авторы

Сергей Леонидович Катречко Государственный академический университет гуманитарных наук (г. Москва)

DOI:

https://doi.org/10.47850/RL.2023.4.4.82-87

Ключевые слова:

теорема Геделя о неполноте, метод устранения монстров (Лакатос), формулы и формулоиды, ультраинтуиционизм (Есенин-Вольпин)

Аннотация

В докладе будет предложен некоторый методологический подход («метод устранения монстров»), восходящий к И. Лакатосу («Доказательство и опровержение»), к анализу теоремы Геделя, который показывает, что несмотря не свою математическую корректность, теорема Геделя неприменима к математике (рекурсивной арифметики), поскольку геделевское выражение является не формулой, а формулоидом (А. С. Есенин-Вольпин), или математическим «монстром», который должен быть устранен из области (языка) математики. Это позволяет «снять» геделевский тезис о неполноте математики, хотя не отменяет задачи позитивного доказательства ее полноты.

Биография автора

Сергей Леонидович Катречко, Государственный академический университет гуманитарных наук (г. Москва)

доцент, кандидат философских наук, доцент философского факультета, главный редактор «Трансцендентального журнала»

Библиографические ссылки

Беклемишев, Л. Д. (2010). Теоремы Геделя о неполноте и границы их применимости. Успехи математических наук. Т. 65. Вып. 5 (395). С. 61-106.

Beklemishev, L. D. (2010). Gödel's theorems on incompleteness and the limits of their applicability. Russian Mathematical Surveys. Vol. 65. Iss. 5 (395). pp. 61-106. (In Russ.)

Бессонов, А. В. (2020). Еще раз о неверных истолкованиях второй теоремы Геделя о неполноте. Сибирский философский журнал. Т. 18. № 3. С. 132-143.

Bessonov, A. V. (2020). Once again about Misinterpretations of Gödel’s second Theorem on Incompleteness. Siberian Journal of Philosophy. Vol. 18. no. 3 pp. 132-143. (In Russ.)

Есенин-Вольпин, А. С. (1995). Формулы или формулоиды. XI международная конференция «Логика, методология, философия науки». Москва-Обнинск. Т. 1. С. 29-32.

Yesenin-Volpin, A. S. (1995). Formulas or Formulaoids. In XI International Conference “Logic, Methodology, Philosophy of Science”. Moscow-Obninsk. Vol. 1. pp. 29-32. (In Russ.)

Есенин-Вольпин, А. С. (1996). Об антитрадиционной (ультра-интуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении. Вопросы философии. № 8. С. 100-136.

Yesenin-Volpin, A. S. (1996). On the Anti-traditional (ultra-intuitionistic) Program of the Foundations of Mathematics and Natural Science Thinking. Questions of Philosophy. no. 8. pp. 100 136. (In Russ.)

Лакатос, И. (1967). Доказательства и опровержения (как доказываются теоремы). М.: Наука.

Lakatos, I. (1967). Proofs and Refutations (how theorems are proven). Moscow. (In Russ.)

Подниекс, К. М. (1992). Вокруг теоремы Геделя. Рига: Зинатне.

Podnieks, K. M. (1992). Around Gödel’s theorem. Riga. (In Russ.)

Успенский, В. А. (2007). Теорема Геделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней [Электронный ресурс]. VII Летняя школа «Современная математика» (Дубна, 19-30 июля 2007 г.). URL: https://www.mathnet.ru/PresentFiles/122/122_1.pdf; видео: https://forallxyz.net/a-84 (дата обращения: 20.10.2023).

Uspensky, V. A. (2007). Gödel's theorem on incompleteness and four roads leading to it [Online]. In VII Summer School “Modern Mathematics” (Dubna, July 19-30, 2007). Available at: https://www.mathnet.ru/PresentFiles/122/122_1.pdf; video: https://forallxyz.net/a-84 (Accessed: 20 October 2023). (In Russ.)

Feferman, S. (1996). Godel's Program for new Axioms: Why, Where, How and What? In Hajek, P. (ed.). Gödel '96. Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics – Kurt Gödel's Legacy. Vol. 6. Lecture Notes in Logic. Berlin. Springer-Verlag. pp. 3-22.

Feferman, S. (2006). The Impact of Gödel’s Incompleteness Theorems on Mathematics. Notices of the American Mathematical Society. Vol. 53. no. 4. pp. 434-439.

Friedman, H. (1975). Some Systems of Second Order Arithmetic and Their Use. In Proceedings of the 1974 International Congress of Mathematicians. Vol. 1. pp. 235-242.

Gödel, K. (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. In Monatshefte für Mathematik und Physik. Bd. 38(1). pp. 173-198.

Gödel, K. (1958). Über Eine Bisher Noch nicht Benutzte Erweiterung des Finiten Standpunktes. Dialectica. Vol. 12. Iss. 3-4. pp. 280-287. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x

Gödel, K. (1986). On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I. In S. Feferman, J. R. Dawson, S. C. Kleene, G. H. Moore, R. M. Solovay, J. van Heijenoort (eds.). Kurt Gödel. Collected Works. Vol. 1. New York. pp. 145-195.

Reverse mathematics. [Online]. Wikipedia. Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/

Reverse_mathematics (Accessed: 20 October 2023).

Simpson, St. G. (2009). Subsystems of Second Order Arithmetic. (Perspectives in Logic). 2nd ed. Cambridge University Press.